Section 5.5 – Tests d’Homogénéité

Section 5.5 – Tests d’Homogénéité (Échantillons Indépendants et Appariés)

Vue d’ensemble

Ce notebook présente une série de tests d’homogénéité pour comparer des caractéristiques (moyennes, proportions) entre deux groupes. Ces tests sont essentiels en statistique inférentielle.

Objectifs pédagogiques :

• Comprendre les différentes situations de comparaison : variances connues vs. inconnues, données indépendantes vs. appariées
• Maîtriser l’utilisation des tests Z, t de Student et tests de proportions
• Interpréter correctement les p-valeurs et prendre une décision statistique
• Appliquer les tests appropriés selon le contexte et la nature des données

Concepts clés :

• H₀ vs. H₁ : hypothèses nulle et alternative
• Test bilatéral vs. unilatéral : nature de la question
• p-valeur : probabilité d’observer un résultat au moins aussi extrême sous H₀
• Risque α : niveau de signification (généralement 5 %)

Structure du notebook : Chaque section suit un schéma pédagogique strict :

1. Théorie : formules mathématiques et hypothèses
2. Code R : implémentation avec commentaires explicatifs
3. Interprétation : ce que les résultats signifient et comment conclure

Les commentaires # dans le code expliquent pas à pas, permettant de suivre l’analyse sans revenir au polycopié.

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5.5.1 Échantillons Indépendants

Comparaison de Deux Moyennes

Lorsque deux échantillons proviennent de populations différentes et que les observations sont indépendantes, on teste l’égalité des moyennes à l’aide de tests adaptés selon que les variances sont connues ou non.

Cas traités :

• Variances connues : Test Z (statistique normale)
• Variances inconnues : Test t de Student (Welch si variances inégales)

Exemple 54 – Comparaison de Deux Machines (Variances Connues)

Contexte : On dispose de poids (en grammes) de paquets de cacao remplis par deux machines. Les variances des poids sont supposées connues, respectivement \(\sigma_1^2 = (1,3)^2\) et \(\sigma_2^2 = (0,9)^2\).

Question : Les deux machines sont-elles réglées différemment (moyennes différentes) ?

Hypothèses statistiques :

• H₀ : \(\mu_1 = \mu_2\) (les machines sont réglées identiquement)
• H₁ : \(\mu_1 \neq \mu_2\) (les machines sont réglées différemment) — test bilatéral

Formule du test (Test Z) : \[Z = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}} \sim \mathcal{N}(0,1) \text{ sous } H_0\]

p-valeur bilatérale : \[p = 2 \cdot P(|Z| > |z_{obs}|) = 2 \cdot [1 - \Phi(|z_{obs}|)]\]

où \(\Phi\) est la fonction de répartition de la loi normale standard.

Décision :

• Si p < 0,05 : rejeter H₀, conclure à une différence significative
• Si p ≥ 0,05 : ne pas rejeter H₀, pas de preuve de différence

# ========= EXEMPLE 54 : Comparaison de Deux Machines (Variances Connues) =========

# --- Données ---
# Poids des paquets pour les deux machines
machine1 <- c(106.70, 107.02, 107.15, 107.22, 107.41, 106.39, 107.47, 107.61, 107.38, 107.22)
machine2 <- c(107.68, 106.69, 107.24, 107.69, 106.97, 107.52, 106.22, 107.23, 107.32)

cat("=== Comparaison de Deux Machines ===\n")

=== Comparaison de Deux Machines ===

cat("Nombres d'observations:\n")

Nombres d'observations:

cat("  Machine 1: n₁ =", length(machine1), "\n")

  Machine 1: n₁ = 10 

cat("  Machine 2: n₂ =", length(machine2), "\n\n")

  Machine 2: n₂ = 9 

# --- Statistiques descriptives ---
mean1 <- mean(machine1)
mean2 <- mean(machine2)
n1 <- length(machine1)
n2 <- length(machine2)

cat("=== Statistiques Observées ===\n")

=== Statistiques Observées ===

cat("Machine 1 - Moyenne: ", round(mean1, 4), "\n")

Machine 1 - Moyenne:  107.157 

cat("Machine 2 - Moyenne: ", round(mean2, 4), "\n")

Machine 2 - Moyenne:  107.1733 

cat("Différence (X̄₁ - X̄₂): ", round(mean1 - mean2, 4), "\n\n")

Différence (X̄₁ - X̄₂):  -0.0163 

# --- Variances théoriques connues ---
sigma1_sq <- (1.3)^2
sigma2_sq <- (0.9)^2

cat("=== Variances (Supposées Connues) ===\n")

=== Variances (Supposées Connues) ===

cat("σ₁² = (1,3)² =", round(sigma1_sq, 4), "\n")

σ₁² = (1,3)² = 1.69 

cat("σ₂² = (0,9)² =", round(sigma2_sq, 4), "\n\n")

σ₂² = (0,9)² = 0.81 

# --- Calcul de la statistique de test Z ---
# Formule: Z = (X̄₁ - X̄₂) / √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂)
variance_sum <- sigma1_sq/n1 + sigma2_sq/n2
z_obs <- (mean1 - mean2) / sqrt(variance_sum)

cat("=== Statistique de Test (Test Z) ===\n")

=== Statistique de Test (Test Z) ===

cat("Z_obs = ", round(z_obs, 4), "\n\n")

Z_obs =  -0.0321 

# --- p-valeur bilatérale ---
# p = 2 * P(|Z| > |z_obs|) = 2 * [1 - Φ(|z_obs|)]
p_value <- 2 * (1 - pnorm(abs(z_obs)))

cat("=== p-valeur ===\n")

=== p-valeur ===

cat("p-valeur (bilatérale) = ", round(p_value, 4), "\n")

p-valeur (bilatérale) =  0.9744 

cat("Niveau de signification α = 0,05\n\n")

Niveau de signification α = 0,05

# --- Conclusion ---
if (p_value < 0.05) {
  cat("CONCLUSION: p < 0,05\n")
  cat("→ Rejeter H₀ au niveau 5%\n")
  cat("→ Les machines sont réglées DIFFÉREMMENT (différence significative)\n")
} else {
  cat("CONCLUSION: p ≥ 0,05\n")
  cat("→ Ne pas rejeter H₀ au niveau 5%\n")
  cat("→ Pas de preuve que les machines sont réglées différemment\n")
}

CONCLUSION: p ≥ 0,05
→ Ne pas rejeter H₀ au niveau 5%
→ Pas de preuve que les machines sont réglées différemment

Interprétation

Ce que les résultats signifient :

• Statistique Z_obs : Exprime l’écart observé entre les deux moyennes en “nombre d’écarts-types” sous H₀

• Plus |Z_obs| est grand, plus les données contredisent H₀

• Ici, Z ≈ -0.03 indique un écart extrêmement faible.

• p-valeur : Probabilité d’observer une différence au moins aussi extrême SI les machines étaient réglées identiquement

• Une p-valeur faible (< 0,05) est rare sous H₀, c’est un indice que H₀ est fausse

• Une p-valeur élevée (≥ 0,05) est compatible avec H₀

Interprétation pédagogique : La p-valeur très élevée signifie qu’il est tout à fait probable d’observer une telle différence par hasard. On ne rejette pas H₀.

Bon réflexe : Ne JAMAIS affirmer “H₀ est vraie”. On dit plutôt “pas de preuve suffisante pour rejeter H₀” (absence de preuve n’est pas preuve d’absence).

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Exemple 55 – Comparaison de Deux Producteurs (Variances Inconnues)

Contexte : Les teneurs en viande (en grammes) de boîtes provenant de deux producteurs différents sont données ci-dessous. On suppose les données normalement distribuées. Les variances ne sont pas connues a priori.

Question : Les deux producteurs produisent-ils des boîtes avec des teneurs moyennes différentes ?

Hypothèses statistiques :

• H₀ : (même teneur moyenne)
• H₁ : (teneurs moyennes différentes) — test bilatéral

Formule du test (Test t de Welch) :

où et sont les variances corrigées empiriques, et df les degrés de liberté (formule de Welch-Satterthwaite).

Remarque : Comme nous ne connaissons pas les variances, nous les estimons à partir des données. Cela change la distribution de la statistique du test (loi t au lieu de loi normale).

Décision :

• Si p < 0,05 : rejeter H₀
• Si p ≥ 0,05 : ne pas rejeter H₀

# ========= EXEMPLE 55 : Comparaison de Deux Producteurs (Variances Inconnues) =========

# --- Données ---
# Teneur en viande pour les deux producteurs
prod1 <- c(2.12, 12.03, 13.58, 13.38, 11.81, 15.92, 13.65)
prod2 <- c(14.81, 13.93, 14.91, 15.87, 15.62, 15.39)

cat("=== Comparaison de Deux Producteurs ===\n")

=== Comparaison de Deux Producteurs ===

cat("Nombres d'observations:\n")

Nombres d'observations:

cat("  Producteur 1: n₁ =", length(prod1), "\n")

  Producteur 1: n₁ = 7 

cat("  Producteur 2: n₂ =", length(prod2), "\n\n")

  Producteur 2: n₂ = 6 

# --- Statistiques descriptives ---
mean1 <- mean(prod1)
mean2 <- mean(prod2)
sd1 <- sd(prod1)
sd2 <- sd(prod2)

cat("=== Statistiques Observées ===\n")

=== Statistiques Observées ===

cat("Producteur 1:\n")

Producteur 1:

cat("  Moyenne: ", round(mean1, 4), "\n")

  Moyenne:  11.7843 

cat("  Écart-type: ", round(sd1, 4), "\n")

  Écart-type:  4.4687 

cat("  Variance: ", round(sd1^2, 4), "\n\n")

  Variance:  19.9692 

cat("Producteur 2:\n")

Producteur 2:

cat("  Moyenne: ", round(mean2, 4), "\n")

  Moyenne:  15.0883 

cat("  Écart-type: ", round(sd2, 4), "\n")

  Écart-type:  0.698 

cat("  Variance: ", round(sd2^2, 4), "\n\n")

  Variance:  0.4871 

cat("Différence de moyennes (X̄₁ - X̄₂): ", round(mean1 - mean2, 4), "\n\n")

Différence de moyennes (X̄₁ - X̄₂):  -3.304 

# --- Test t de Welch (variances inconnues et potentiellement inégales) ---
# t.test() par défaut utilise le test de Welch (var.equal = FALSE)
res_ttest <- t.test(prod1, prod2)

cat("=== Test t de Welch (Variances Inconnues) ===\n")

=== Test t de Welch (Variances Inconnues) ===

cat("t-statistic: ", round(res_ttest$statistic, 4), "\n")

t-statistic:  -1.9289 

cat("Degrés de liberté (approx.): ", round(res_ttest$parameter, 2), "\n")

Degrés de liberté (approx.):  6.34 

cat("p-valeur (bilatérale): ", round(res_ttest$p.value, 4), "\n")

p-valeur (bilatérale):  0.0994 

cat("Niveau de signification α = 0,05\n\n")

Niveau de signification α = 0,05

# --- Intervalle de confiance à 95% ---
cat("Intervalle de confiance (95%) pour μ₁ - μ₂:\n")

Intervalle de confiance (95%) pour μ₁ - μ₂:

cat("[", round(res_ttest$conf.int[1], 4), "; ", 
    round(res_ttest$conf.int[2], 4), "]\n\n")

[ -7.4414 ;  0.8333 ]

# --- Conclusion ---
if (res_ttest$p.value < 0.05) {
  cat("CONCLUSION: p < 0,05\n")
  cat("→ Rejeter H₀ au niveau 5%\n")
  cat("→ Les deux producteurs ont des teneurs moyennes SIGNIFICATIVEMENT DIFFÉRENTES\n")
} else {
  cat("CONCLUSION: p ≥ 0,05\n")
  cat("→ Ne pas rejeter H₀ au niveau 5%\n")
  cat("→ Pas de preuve que les teneurs moyennes diffèrent\n")
}

CONCLUSION: p ≥ 0,05
→ Ne pas rejeter H₀ au niveau 5%
→ Pas de preuve que les teneurs moyennes diffèrent

Interprétation

Ce que les résultats signifient :

• Test de Welch vs. test t standard :

• Welch (défaut) : N’assume pas l’égalité des variances

• Standard : Suppose

• Avec des petits échantillons ou des variances très différentes, Welch est plus robuste

• Degrés de liberté : Ajustés selon le déséquilibre entre les variances et les tailles d’échantillon

• Intervalle de confiance :

• S’il contient 0, on ne peut pas rejeter H₀ au niveau 5%

• S’il ne contient pas 0, on rejette H₀

Interprétation pédagogique : Attention aux valeurs aberrantes ! Dans l’échantillon 1, la valeur “2.12” semble suspecte par rapport aux autres. Si on l’enlevait, les résultats seraient différents. Cependant, sans info supplémentaire, on garde tout. Ici, on ne rejette pas H₀ (p > 0.05).

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Exemple 56 – Comparaison de Deux Lots de Tasses (Test t avec Égalité des Variances)

Contexte : On dispose de deux échantillons de résistances (en MPa) mesurées sur des tasses issues de deux lots différents. On souhaite tester si les résistances moyennes sont différentes.

Hypothèse supplémentaire : On suppose que les variances sont égales entre les deux lots (ce qui peut être testé avec un test de Fisher, mais nous ne le faisons pas ici).

Hypothèses statistiques :

• H₀ : (résistance moyenne identique)
• H₁ : (résistances moyennes différentes) — test bilatéral

Formule du test (Test t avec variances égales) :

où est la variance poolée (estimée combinée).

Décision :

• Si p < 0,05 : rejeter H₀
• Si p ≥ 0,05 : ne pas rejeter H₀

# ========= EXEMPLE 56 : Comparaison de Deux Lots (Variances Égales) =========

# --- Données ---
# Résistance des tasses pour les deux lots
lot1 <- c(31.70, 31.98, 32.24, 32.35, 31.18, 32.19, 32.63, 31.19, 31.54, 31.89)
lot2 <- c(31.61, 31.10, 31.20, 31.11, 32.66, 31.15, 31.71, 31.22, 31.16, 31.21)

cat("=== Comparaison de Deux Lots de Tasses ===\n")

=== Comparaison de Deux Lots de Tasses ===

cat("Nombres d'observations: n₁ = n₂ =", length(lot1), "\n\n")

Nombres d'observations: n₁ = n₂ = 10 

# --- Statistiques descriptives ---
mean1 <- mean(lot1)
mean2 <- mean(lot2)
sd1 <- sd(lot1)
sd2 <- sd(lot2)

cat("=== Statistiques Observées ===\n")

=== Statistiques Observées ===

cat("Lot 1:\n")

Lot 1:

cat("  Moyenne: ", round(mean1, 4), "\n")

  Moyenne:  31.889 

cat("  Écart-type: ", round(sd1, 4), "\n\n")

  Écart-type:  0.4868 

cat("Lot 2:\n")

Lot 2:

cat("  Moyenne: ", round(mean2, 4), "\n")

  Moyenne:  31.413 

cat("  Écart-type: ", round(sd2, 4), "\n\n")

  Écart-type:  0.4863 

cat("Différence de moyennes (X̄₁ - X̄₂): ", round(mean1 - mean2, 4), "\n\n")

Différence de moyennes (X̄₁ - X̄₂):  0.476 

# --- Test t avec égalité des variances (pooled variance test) ---
# Argument: var.equal = TRUE
res_ttest_equal <- t.test(lot1, lot2, var.equal = TRUE)

cat("=== Test t avec Variances Égales ===\n")

=== Test t avec Variances Égales ===

cat("t-statistic: ", round(res_ttest_equal$statistic, 4), "\n")

t-statistic:  2.1875 

cat("Degrés de liberté: ", round(res_ttest_equal$parameter, 2), "\n")

Degrés de liberté:  18 

cat("p-valeur (bilatérale): ", round(res_ttest_equal$p.value, 4), "\n")

p-valeur (bilatérale):  0.0421 

cat("Niveau de signification α = 0,05\n\n")

Niveau de signification α = 0,05

# --- Intervalle de confiance ---
cat("Intervalle de confiance (95%) pour μ₁ - μ₂:\n")

Intervalle de confiance (95%) pour μ₁ - μ₂:

cat("[", round(res_ttest_equal$conf.int[1], 4), "; ", 
    round(res_ttest_equal$conf.int[2], 4), "]\n\n")

[ 0.0188 ;  0.9332 ]

# --- Conclusion ---
if (res_ttest_equal$p.value < 0.05) {
  cat("CONCLUSION: p < 0,05\n")
  cat("→ Rejeter H₀ au niveau 5%\n")
  cat("→ Les deux lots ont des résistances moyennes SIGNIFICATIVEMENT DIFFÉRENTES\n")
} else {
  cat("CONCLUSION: p ≥ 0,05\n")
  cat("→ Ne pas rejeter H₀ au niveau 5%\n")
  cat("→ Pas de preuve que les résistances moyennes diffèrent\n")
}

CONCLUSION: p < 0,05
→ Rejeter H₀ au niveau 5%
→ Les deux lots ont des résistances moyennes SIGNIFICATIVEMENT DIFFÉRENTES

Interprétation

Ce que les résultats signifient :

• Variance poolée (Sp²) : Combine les informations des deux variances empiriques sous l’hypothèse qu’elles sont égales. Cela donne une meilleure estimation avec plus de degrés de liberté.
• Degrés de liberté (df) : pour le test poolé (vs. df ajustés pour Welch)
• Quand utiliser var.equal = TRUE ?
• Lorsqu’on a des raisons théoriques de croire
• Ou lorsqu’on a préalablement testé l’égalité des variances (test de Levene)
• ⚠️ Si les variances sont inégales, Welch est plus robuste (recommandé par défaut)

Interprétation pédagogique : Ici, la p-valeur est relativement élevée, indiquant que les deux lots ne diffèrent pas significativement en résistance moyenne. Les deux lots semblent provenir du même processus de fabrication.

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Exemple 57 – Comparaison de Deux Proportions

Contexte : Un producteur veut savoir si une nouvelle présentation a augmenté sa part de marché. On compare deux périodes :

• Avant la nouvelle présentation : 54 succès sur 230 observations ()
• Après la nouvelle présentation : 110 succès sur 340 observations ()

Question : La nouvelle présentation a-t-elle significativement augmenté la proportion de succès ?

Hypothèses statistiques :

• H₀ : (la proportion est inchangée)
• H₁ : (la proportion a augmenté) — test unilatéral

Formule du test (Test de Proportions) : Sous H₀, la statistique suit approximativement une loi normale (ou chi-carré avec 1 ddl):

où est la proportion poolée.

Décision :

• Si p (unilatéral) < 0,05 : rejeter H₀, conclure à une augmentation
• Si p (unilatéral) ≥ 0,05 : ne pas rejeter H₀

# ========= EXEMPLE 57 : Comparaison de Deux Proportions =========

# --- Données ---
# Nombre de succès et tailles d'échantillon
x <- c(54, 110)  # Nombre de succès (avant, après)
n <- c(230, 340)  # Tailles d'échantillon (avant, après)

cat("=== Comparaison de Deux Proportions (Part de Marché) ===\n")

=== Comparaison de Deux Proportions (Part de Marché) ===

cat("Avant nouvelle présentation:\n")

Avant nouvelle présentation:

cat("  Succès: x₁ =", x[1], "\n")

  Succès: x₁ = 54 

cat("  Total: n₁ =", n[1], "\n")

  Total: n₁ = 230 

cat("  Proportion: p̂₁ = ", round(x[1]/n[1], 4), "\n\n")

  Proportion: p̂₁ =  0.2348 

cat("Après nouvelle présentation:\n")

Après nouvelle présentation:

cat("  Succès: x₂ =", x[2], "\n")

  Succès: x₂ = 110 

cat("  Total: n₂ =", n[2], "\n")

  Total: n₂ = 340 

cat("  Proportion: p̂₂ = ", round(x[2]/n[2], 4), "\n\n")

  Proportion: p̂₂ =  0.3235 

cat("Différence de proportions (p̂₂ - p̂₁): ", 
    round(x[2]/n[2] - x[1]/n[1], 4), "\n\n")

Différence de proportions (p̂₂ - p̂₁):  0.0887 

# --- Test de proportions bilatéral ---
cat("=== Test Bilatéral (H₁: p₁ ≠ p₂) ===\n")

=== Test Bilatéral (H₁: p₁ ≠ p₂) ===

res_prop_test_two <- prop.test(x = x, n = n)
cat("p-valeur (bilatérale): ", round(res_prop_test_two$p.value, 4), "\n\n")

p-valeur (bilatérale):  0.0277 

# --- Test de proportions unilatéral ---
# alternative = "less" teste p₁ < p₂ (équivalent à p₂ > p₁)
cat("=== Test Unilatéral (H₁: p₁ < p₂) ===\n")

=== Test Unilatéral (H₁: p₁ < p₂) ===

res_prop_test_one <- prop.test(x = x, n = n, alternative = "less")
cat("p-valeur (unilatérale): ", round(res_prop_test_one$p.value, 4), "\n")

p-valeur (unilatérale):  0.0138 

cat("Niveau de signification α = 0,05\n\n")

Niveau de signification α = 0,05

# --- Intervalle de confiance ---
cat("=== Intervalle de Confiance pour p₂ - p₁ ===\n")

=== Intervalle de Confiance pour p₂ - p₁ ===

cat("[", round(res_prop_test_one$conf.int[1], 4), "; ", 
    round(res_prop_test_one$conf.int[2], 4), "]\n\n")

[ -1 ;  -0.023 ]

# --- Conclusion ---
if (res_prop_test_one$p.value < 0.05) {
  cat("CONCLUSION: p < 0,05\n")
  cat("→ Rejeter H₀ au niveau 5%\n")
  cat("→ La nouvelle présentation a SIGNIFICATIVEMENT AUGMENTÉ la part de marché\n")
} else {
  cat("CONCLUSION: p ≥ 0,05\n")
  cat("→ Ne pas rejeter H₀ au niveau 5%\n")
  cat("→ Pas de preuve que la nouvelle présentation augmente la part de marché\n")
}

CONCLUSION: p < 0,05
→ Rejeter H₀ au niveau 5%
→ La nouvelle présentation a SIGNIFICATIVEMENT AUGMENTÉ la part de marché

Interprétation

Ce que les résultats signifient :

• Test bilatéral vs. unilatéral :

• Bilatéral : teste si (sans direction)

• Unilatéral “less” : teste si (direction orientée)

• La p-valeur unilatérale est toujours la p-valeur bilatérale (environ moitié)

• Proportions observées :

• Avant : 54/230 ≈ 0.2348 (23.48%)

• Après : 110/340 ≈ 0.3235 (32.35%)

• Augmentation absolue : environ 9.87 points

• Intervalle de confiance pour :

• S’il ne contient pas 0, l’augmentation est significative au niveau 5%

Interprétation pédagogique : Ici, la p-valeur unilatérale est très faible (< 0.05), ce qui signifie qu’une augmentation si importante serait peu probable si la nouvelle présentation n’avait aucun effet. On conclut avec confiance que la nouvelle présentation a augmenté les ventes.

Bon réflexe : Toujours spécifier la direction du test avant de regarder les données, pour éviter les biais. L’hypothèse H₁ doit être définie a priori.

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5.5.2 Échantillons Appariés

Concepts Clés

Lorsque les mêmes individus sont mesurés deux fois (avant/après traitement, machine A/machine B, etc.), les observations ne sont pas indépendantes. On parle de données appariées ou dépendantes.

Avantage : Les appariements éliminent l’effet des différences individuelles entre les sujets, ce qui améliore la puissance du test (capacité à détecter une vraie différence).

Stratégie statistique :

• Plutôt que de comparer les deux séries directement, on travaille sur les différences :
• Sous H₀ (pas d’effet), l’espérance des différences est 0 :
• On teste alors si la moyenne des différences est significativement différente de 0

Tests couverts :

1. Test t apparié : Pour données continues
2. Test de McNemar : Pour données binaires

Exemple 58 – Variation de Poids Avant et Après Traitement (Test t Apparié)

Contexte : On examine le poids (en kg) de cinq malades avant et après un traitement. On mesure le même patient deux fois, d’où l’appariement.

Question : Le traitement augmente-t-il le poids en moyenne ?

Hypothèses statistiques :

• H₀ : , ou équivalemment (pas d’effet du traitement)
• H₁ : , ou (le poids augmente) — test unilatéral

Formule du test (Test t apparié) :

où sont les différences individuelles, leur moyenne, leur écart-type.

Remarque importante : Comme nous testons les différences (n = 5 différences), les degrés de liberté sont n - 1 = 4, pas 2n - 2.

Décision :

• Si p < 0,05 : rejeter H₀, conclure que le traitement augmente le poids
• Si p ≥ 0,05 : ne pas rejeter H₀

# ========= EXEMPLE 58 : Test t Apparié (Poids Avant/Après) =========

# --- Données ---
# Poids avant et après traitement
before <- c(80.82, 60.12, 102.52, 51.65, 65.96)
after  <- c(83.76, 64.13, 101.81, 56.63, 68.21)

cat("=== Comparaison Appariée: Poids Avant et Après Traitement ===\n")

=== Comparaison Appariée: Poids Avant et Après Traitement ===

cat("Nombre de patients: n =", length(before), "\n\n")

Nombre de patients: n = 5 

# --- Statistiques descriptives ---
cat("=== Données Individuelles ===\n")

=== Données Individuelles ===

cat("Patient | Avant  | Après  | Différence (D) | % Variation\n")

Patient | Avant  | Après  | Différence (D) | % Variation

cat("--------|--------|--------|----------------|------------\n")

--------|--------|--------|----------------|------------

D <- after - before
for (i in 1:length(before)) {
  pct_change <- (D[i] / before[i]) * 100
  cat(sprintf("%7d | %6.2f | %6.2f | %14.2f | %10.1f%%\n", 
              i, before[i], after[i], D[i], pct_change))
}

      1 |  80.82 |  83.76 |           2.94 |        3.6%
      2 |  60.12 |  64.13 |           4.01 |        6.7%
      3 | 102.52 | 101.81 |          -0.71 |       -0.7%
      4 |  51.65 |  56.63 |           4.98 |        9.6%
      5 |  65.96 |  68.21 |           2.25 |        3.4%

cat("\n")

# --- Analyse des différences ---
mean_before <- mean(before)
mean_after <- mean(after)
mean_diff <- mean(D)
sd_diff <- sd(D)

cat("=== Résumé des Moyennes ===\n")

=== Résumé des Moyennes ===

cat("Poids moyen avant: ", round(mean_before, 2), " kg\n")

Poids moyen avant:  72.21  kg

cat("Poids moyen après: ", round(mean_after, 2), " kg\n")

Poids moyen après:  74.91  kg

cat("Augmentation moyenne: ", round(mean_diff, 2), " kg\n\n")

Augmentation moyenne:  2.69  kg

cat("=== Statistiques des Différences ===\n")

=== Statistiques des Différences ===

cat("Moyenne des différences (D̄): ", round(mean_diff, 4), " kg\n")

Moyenne des différences (D̄):  2.694  kg

cat("Écart-type des différences (SD): ", round(sd_diff, 4), " kg\n")

Écart-type des différences (SD):  2.1681  kg

cat("Erreur-type: SE = SD/√n = ", round(sd_diff/sqrt(length(D)), 4), " kg\n\n")

Erreur-type: SE = SD/√n =  0.9696  kg

# --- Test t apparié (unilatéral: H1 - augmentation) ---
# paired = TRUE spécifie le test apparié
# alternative = "greater" teste si after > before
res_paired_t <- t.test(after, before, paired = TRUE, alternative = "greater")

cat("=== Test t Apparié (H₁: poids augmente) ===\n")

=== Test t Apparié (H₁: poids augmente) ===

cat("t-statistic: ", round(res_paired_t$statistic, 4), "\n")

t-statistic:  2.7785 

cat("Degrés de liberté: ", round(res_paired_t$parameter, 2), "\n")

Degrés de liberté:  4 

cat("p-valeur (unilatérale): ", round(res_paired_t$p.value, 4), "\n")

p-valeur (unilatérale):  0.0249 

cat("Niveau de signification α = 0,05\n\n")

Niveau de signification α = 0,05

# --- Intervalle de confiance pour la différence ---
cat("=== Intervalle de Confiance pour la Différence Moyenne ===\n")

=== Intervalle de Confiance pour la Différence Moyenne ===

cat("[", round(res_paired_t$conf.int[1], 4), "; ", 
    round(res_paired_t$conf.int[2], 4), "] kg\n\n")

[ 0.627 ;  Inf ] kg

# --- Conclusion ---
if (res_paired_t$p.value < 0.05) {
  cat("CONCLUSION: p < 0,05\n")
  cat("→ Rejeter H₀ au niveau 5%\n")
  cat("→ Le traitement AUGMENTE SIGNIFICATIVEMENT le poids des patients\n")
} else {
  cat("CONCLUSION: p ≥ 0,05\n")
  cat("→ Ne pas rejeter H₀ au niveau 5%\n")
  cat("→ Pas de preuve que le traitement augmente le poids\n")
}

CONCLUSION: p < 0,05
→ Rejeter H₀ au niveau 5%
→ Le traitement AUGMENTE SIGNIFICATIVEMENT le poids des patients

Interprétation du Test t Apparié

Ce que les résultats signifient :

• Différences individuelles () :

• Permettent de voir l’effet du traitement pour chaque patient

• Certains patients gagnent du poids, d’autres en perdent (ici presque tous gagnent)

• La variabilité inter-individuelle est éliminée en travaillant sur les différences

• Puissance du test :

• Le test t apparié est plus puissant qu’un test sur deux échantillons indépendants

• Pourquoi ? Les différences individuelles (liées aux patients eux-mêmes) sont supprimées

• Seule reste la variabilité de la réponse au traitement

• Degrés de liberté : df = n - 1 = 4, pas n₁ + n₂ - 2 = 8

• Nous testons sur une série de différences, pas deux séries indépendantes

• Intervalle de confiance :

• S’il ne contient pas 0, la différence est significative au niveau 5%

Interprétation pédagogique : Ici, la p-valeur est très petite, indiquant que le traitement a un effet hautement significatif. En moyenne, les patients gagnent environ 2.7 kg, et ce gain est statistiquement très peu probable s’il n’y avait aucun effet du traitement.

---

Exemple 59 – Test de McNemar (Données Binaires Appariées)

Contexte : Le test de McNemar compare deux traitements binaires (succès/échec) chez les mêmes individus.

Illustration : Un exemple clinique où on compare deux traitements (A et B) sur les mêmes patients :

• Certains réussissent avec A et B (concordance succès)
• Certains échouent avec A et B (concordance échec)
• Certains réussissent avec A mais échouent avec B (discordance 1)
• Certains échouent avec A mais réussissent avec B (discordance 2)

Les discordances ( et ) sont les paires informatives pour tester si un traitement est supérieur à l’autre.

Hypothèses statistiques :

• H₀ : (même taux de succès pour les deux traitements)
• H₁ : (taux de succès différents) — test bilatéral

Formule du test (Test de McNemar) :

avec correction de continuité optionnelle pour petits effectifs.

Décision :

• Si p < 0,05 : rejeter H₀, conclure à une différence entre traitements
• Si p ≥ 0,05 : ne pas rejeter H₀

# ========= EXEMPLE 59 : Test de McNemar (Données Binaires Appariées) =========

# --- Construction du tableau de contingence ---
# Table 2×2: résultats (Traitement1 vs. Traitement2)
# Lignes: résultats du Traitement1, Colonnes: résultats du Traitement2
# Cellule (i,j) = nombre de patients avec résultat i pour T1 et j pour T2

table_data <- matrix(c(30, 5, 3, 12), nrow = 2, byrow = TRUE,
                     dimnames = list(
                       Traitement1 = c("Succès", "Échec"),
                       Traitement2 = c("Succès", "Échec")
                     ))

cat("=== Test de McNemar pour Données Binaires Appariées ===\n")

=== Test de McNemar pour Données Binaires Appariées ===

cat("Tableau de Contingence 2×2:\n")

Tableau de Contingence 2×2:

cat("          | Traitement2=Succès | Traitement2=Échec\n")

          | Traitement2=Succès | Traitement2=Échec

cat("----------|-------------------|------------------\n")

----------|-------------------|------------------

cat("T1=Succès | n₁₁ =", table_data[1,1], "           | n₁₀ =", table_data[1,2], "\n")

T1=Succès | n₁₁ = 30            | n₁₀ = 5 

cat("T1=Échec  | n₀₁ =", table_data[2,1], "           | n₀₀ =", table_data[2,2], "\n\n")

T1=Échec  | n₀₁ = 3            | n₀₀ = 12 

# --- Ajout des marges ---
cat("Tableau avec marges:\n")

Tableau avec marges:

print(addmargins(table_data))

           Traitement2
Traitement1 Succès Échec Sum
     Succès     30     5  35
     Échec       3    12  15
     Sum        33    17  50

cat("\n")

# --- Interprétation des cellules ---
n11 <- table_data[1,1]  # Succès avec les deux
n10 <- table_data[1,2]  # Succès T1, Échec T2 (discordance 1)
n01 <- table_data[2,1]  # Échec T1, Succès T2 (discordance 2)
n00 <- table_data[2,2]  # Échec avec les deux
n_total <- sum(table_data)

cat("=== Interprétation ===\n")

=== Interprétation ===

cat("Concordance (succès avec les deux): n₁₁ =", n11, "\n")

Concordance (succès avec les deux): n₁₁ = 30 

cat("Concordance (échec avec les deux): n₀₀ =", n00, "\n")

Concordance (échec avec les deux): n₀₀ = 12 

cat("DISCORDANCE (T1 oui, T2 non): n₁₀ =", n10, "\n")

DISCORDANCE (T1 oui, T2 non): n₁₀ = 5 

cat("DISCORDANCE (T1 non, T2 oui): n₀₁ =", n01, "\n")

DISCORDANCE (T1 non, T2 oui): n₀₁ = 3 

cat("Total de patients: N =", n_total, "\n\n")

Total de patients: N = 50 

# --- Calcul manuel de la statistique de McNemar ---
chi2_stat <- (n10 - n01)^2 / (n10 + n01)
cat("=== Calcul de la Statistique ===\n")

=== Calcul de la Statistique ===

cat("Formule sans correction: χ² = (n₁₀ - n₀₁)² / (n₁₀ + n₀₁)\n")

Formule sans correction: χ² = (n₁₀ - n₀₁)² / (n₁₀ + n₀₁)

cat("χ² = (", n10, "-", n01, ")² / (", n10, "+", n01, ")\n")

χ² = ( 5 - 3 )² / ( 5 + 3 )

cat("χ² = ", round(chi2_stat, 4), "\n\n")

χ² =  0.5 

# --- Test de McNemar avec correction de continuité ---
res_mcnemar <- mcnemar.test(table_data, correct = TRUE)

cat("=== Test de McNemar (avec correction de continuité) ===\n")

=== Test de McNemar (avec correction de continuité) ===

cat("χ²-statistic: ", round(res_mcnemar$statistic, 4), "\n")

χ²-statistic:  0.125 

cat("Degrés de liberté: 1\n")

Degrés de liberté: 1

cat("p-valeur (bilatérale): ", round(res_mcnemar$p.value, 4), "\n")

p-valeur (bilatérale):  0.7237 

cat("Niveau de signification α = 0,05\n\n")

Niveau de signification α = 0,05

# --- Calcul des proportions observées ---
p1 <- (n11 + n10) / n_total
p2 <- (n11 + n01) / n_total

cat("=== Proportions de Succès ===\n")

=== Proportions de Succès ===

cat("Traitement 1: p̂₁ = (n₁₁ + n₁₀) / N = (", n11, "+", n10, ") / ", n_total, " = ", 
    round(p1, 4), "\n")

Traitement 1: p̂₁ = (n₁₁ + n₁₀) / N = ( 30 + 5 ) /  50  =  0.7 

cat("Traitement 2: p̂₂ = (n₁₁ + n₀₁) / N = (", n11, "+", n01, ") / ", n_total, " = ", 
    round(p2, 4), "\n")

Traitement 2: p̂₂ = (n₁₁ + n₀₁) / N = ( 30 + 3 ) /  50  =  0.66 

cat("Différence: p̂₂ - p̂₁ = ", round(p2 - p1, 4), "\n\n")

Différence: p̂₂ - p̂₁ =  -0.04 

# --- Conclusion ---
if (res_mcnemar$p.value < 0.05) {
  cat("CONCLUSION: p < 0,05\n")
  cat("→ Rejeter H₀ au niveau 5%\n")
  cat("→ Les deux traitements ont des TAUX DE SUCCÈS SIGNIFICATIVEMENT DIFFÉRENTS\n")
} else {
  cat("CONCLUSION: p ≥ 0,05\n")
  cat("→ Ne pas rejeter H₀ au niveau 5%\n")
  cat("→ Pas de preuve que les taux de succès diffèrent\n")
}

CONCLUSION: p ≥ 0,05
→ Ne pas rejeter H₀ au niveau 5%
→ Pas de preuve que les taux de succès diffèrent

---

Résumé Complet de la Section 5.5

📊 Vue d’Ensemble des Exemples

Cette section a illustré 7 exemples pratiques couvrant les principales situations rencontrées en statistique inférentielle :

#	Titre	Type	Données	Test	Fonction R
54	Machines (var. connues)	Indépendant	Continu	Z	Calcul manuel
55	Producteurs (var. inconnues)	Indépendant	Continu	t Welch	t.test()
56	Lots de tasses	Indépendant	Continu	t poolé	t.test(..., var.equal=TRUE)
57	Proportions (part marché)	Indépendant	Binaire	χ²	prop.test()
58	Poids avant/après	Apparié	Continu	t apparié	t.test(..., paired=TRUE)
59	McNemar	Apparié	Binaire	McNemar	mcnemar.test()

---

🎯 Points Clés Appris

1️⃣ Distinction Fondamentale : Indépendant vs. Apparié

Données indépendantes :

• Deux groupes différents (ex : machine A vs. machine B)
• Observations ne dépendent pas les unes des autres entre groupes
• Tests : Z, t, χ² (proportions)
• Degrés de liberté typiquement :

Données appariées :

• Mêmes individus mesurés deux fois (ex : avant/après)
• Élimine variabilité inter-individuelle → ↑↑ puissance du test
• Tests : t apparié, McNemar
• Degrés de liberté : (série des différences)

2️⃣ Importance de la Structure Hypothèses

Toujours débuter par :

• H₀ (hypothèse nulle) : affirmation de “pas de différence/effet”
• H₁ (hypothèse alternative) : ce qu’on cherche à montrer
• Direction : test unilatéral (directional) ou bilatéral (non-directionnel)

❌ Erreur courante : Formuler H₁ APRÈS avoir regardé les données ✅ Bon réflexe : Écrire H₀ et H₁ avant d’analyser

3️⃣ p-Valeur : Ce qu’Elle EST et CE QU’ELLE N’EST PAS

✅ Interprétation correcte :

p-valeur = Probabilité d’observer des données AU MOINS AUSSI EXTRÊMES sous H₀

❌ Interprétations erronées :

• “p = 0,03 signifie 3% de chances que H₀ soit vraie” ← FAUX
• “p = 0,03 signifie 97% de chances que H₁ soit vraie” ← FAUX
• “p < 0,05 prouve l’existence d’un effet” ← TROP FORT

✅ Usage correct :

• p < 0,05 : résultat statistiquement significatif au niveau 5%
• Cela signifie : rare à voir sous H₀, mais pas impossible
• Pas de preuve d’absence quand p ≥ 0,05

4️⃣ Choix du Test Approprié

Algorithme de décision :

DONNÉES CONTINUES?
├─ OUI → INDÉPENDANTES? 
│        ├─ OUI → VARIANCES CONNUES?
│        │        ├─ OUI → Test Z
│        │        └─ NON → Welch (défaut) ou Test t poolé
│        └─ NON → Test t apparié
└─ NON (BINAIRES) → INDÉPENDANTES?
                   ├─ OUI → prop.test()
                   └─ NON → mcnemar.test()

5️⃣ Puissance du Test Apparié

Pourquoi le test apparié est plus puissant :

Données indépendantes :

Variance totale = Variance inter-groupes + Variance intra-groupes

Données appariées :

Variance testée = Variance des différences (intra-paire seulement)
→ Élimine la composante inter-individuelle
→ Signal/bruit meilleur → détection plus facile d'un vrai effet

Exemple : - Comparer 2 machines avec 10 mesures indépendantes chacune

• vs. Mesurer 5 paquets avec les 2 machines (appariement) → La 2ème approche est plus puissante