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title: "Section 4.9 – Travaux Pratiques : Tests de Conformité"
author: "HAMLIL Mohamed"
date: "2025-12-31"
format:
pdf:
documentclass: article
geometry: margin=1in
editor: visual
engine: knitr
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# Section 4.9 – Travaux Pratiques
## Vue d'ensemble
Ce notebook présente des exercices pratiques sur les **tests de conformité** : tester si une observation ou un paramètre est conforme à une valeur de référence.
**Objectifs pédagogiques :**
- Comprendre la structure générale d'un test statistique
- Maîtriser les tests sur une seule population (moyenne, variance, proportion)
- Tester des corrélations et interpréter les p-valeurs
- Appliquer les tests dans R et interpréter les résultats
**Concepts clés :**
- **Hypothèse nulle** $H_0$ : hypothèse à tester
- **Hypothèse alternative** $H_1$ : ce qu'on affirme si $H_0$ est rejetée
- **P-valeur** : probabilité d'observer un résultat aussi extrême sous $H_0$
- **Niveau de risque** $\alpha$ : seuil de décision (ex: 5%)
------------------------------------------------------------------------
## 4.9.1 Principes des Tests Statistiques
### Structure générale d'un test
Un test statistique répond à la question : "**Mes données sont-elles compatibles avec l'hypothèse H₀ ?**"
**Étapes :**
1. **Formulation** : Énoncer H₀ (hypothèse nulle) et H₁ (hypothèse alternative)
2. **Statistique de test** : Calculer une statistique à partir des données
3. **P-valeur** : Calculer la probabilité (sous H₀) d'observer une stat aussi extrême
4. **Décision** :
- Si p-valeur \< $\alpha$ : rejeter H₀ (**résultat significatif**)
- Si p-valeur $\ge \alpha$ : ne pas rejeter H₀ (**pas de preuve contre H₀**)
**Interprétation cruciale :** Ne pas rejeter H₀ $\neq$ Accepter H₀
### Tests présentés
Dans ce notebook, nous testons l'hypothèse que un paramètre d'une population est égal à une valeur connue $\theta_0$ :
| Paramètre | Test | Fonction R | Hypothèses |
|------------------|------------------|------------------|------------------|
| Moyenne $\mu$ | t-test Student | `t.test()` | Données \~ $N(\mu,\sigma^2)$ |
| Variance $\sigma^2$ | Chi-deux | `var.test()` ou `sigma2.test()` | Données \~ $N(\mu,\sigma^2)$ |
| Proportion $p$ | Binomial/Proportion | `prop.test()` | $n$ grand ou `binom.test()` |
| Corrélation $\rho$ | Test de Pearson | `cor.test()` | Bivariée normale |
------------------------------------------------------------------------
## 4.9.3 Comparaison de la Moyenne à une Valeur de Référence
### Contexte et Hypothèses
**Question :** La moyenne d'une population est-elle égale à une valeur de référence $\mu_0$ ?
**Hypothèses :**
- **H₀** : $\mu = \mu_0$ (la moyenne population égale la référence)
- **H₁** : $\mu \neq \mu_0$ (la moyenne diffère de la référence) \[bilatéral\]
- Ou **H₁** : $\mu > \mu_0$ ou $\mu < \mu_0$ \[unilatéral\]
**Test à utiliser :** **t-test de Student** (si $\sigma^2$ inconnue)
**Statistique :** $$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}} \sim t_{n-1} \quad \text{sous } H_0$$
**Interprétation :**
- Si $|t|$ grande $\implies$ p-valeur petite $\implies$ rejeter H₀
- Si $|t|$ petite $\implies$ p-valeur grande $\implies$ garder H₀
```{r}
# ========= T-TEST: Comparer une moyenne à μ₀ =========
cat("\n=== T-Test de Student ===\n\n")
# Exemple: mesures d'une variable quantitative
x <- c(0.62, 0.55, 0.58, 0.63, 0.60, 0.59, 0.57, 0.61)
# Valeur de référence
mu0 <- 0.58
cat("Données observées:\n")
print(x)
cat("\nStatistiques descriptives:\n")
cat(" Moyenne: ", round(mean(x), 4), "\n")
cat(" Écart-type: ", round(sd(x), 4), "\n")
cat(" Taille: ", length(x), "\n")
cat(" Référence μ₀:", mu0, "\n\n")
# === TEST UNILATÉRAL: H1 est μ > μ₀ ===
cat("=== Hypothèses ===\n")
cat(" H₀: μ = ", mu0, "(la moyenne égale la référence)\n")
cat(" H₁: μ > ", mu0, "(la moyenne est supérieure)\n\n")
# Effectuer le test
resultat_test <- t.test(x, mu = mu0, alternative = "greater")
# Afficher les résultats
cat("=== Résultats du Test ===\n")
cat(" Statistique t:", round(resultat_test$statistic, 4), "\n")
cat(" Degrés de liberté:", resultat_test$parameter, "\n")
cat(" P-valeur:", round(resultat_test$p.value, 4), "\n\n")
# Décision au niveau α = 5%
alpha <- 0.05
if (resultat_test$p.value < alpha) {
decision <- "REJETER H₀"
interpretation <- "La moyenne est SIGNIFICATIVEMENT supérieure à la référence"
} else {
decision <- "NE PAS REJETER H₀"
interpretation <- "Pas de preuve que la moyenne dépasse la référence"
}
cat("=== Décision (α = 5%) ===\n")
cat(" Décision: ", decision, "\n")
cat(" Interprétation:", interpretation, "\n")
```
### Variante : Test Bilatéral
Pour tester **H₁ :** (la moyenne diffère, sans direction), utiliser `alternative = "two.sided"` (par défaut).
``` r
t.test(x, mu = mu0, alternative = "two.sided")
```
Cette variante test-elle une déviation dans n'importe quelle direction (haute ou basse).
### Application Pratique
Dans le polycopié, on peut filtrer les données selon un critère (ex: IMC \> 30) puis appliquer le test :
``` r
IMC <- poids / ((taille/100)^2)
mesure_IMC_haut <- mesure[IMC > 30]
t.test(mesure_IMC_haut, mu = 0.58, alternative = "greater")
```
------------------------------------------------------------------------
## 4.9.4 Comparaison de la Variance à une Valeur de Référence
### Contexte et Hypothèses
**Question :** La variance d'une population est-elle égale à ?
**Hypothèses :**
- **H₀** : (la variance égale la référence)
- **H₁** : (la variance diffère) \[bilatéral, par défaut\]
**Test à utiliser :** **Test du Chi-deux**
**Statistique :**
**Fonctions R disponibles :**
- `var.test()` : teste l'égalité de deux variances
- `sigma2.test()` : teste une variance contre une valeur (si le package est chargé)
```{r}
# ========= TEST CHI-DEUX: Comparer une variance à σ₀² =========
cat("\n=== Test de Variance (Chi-Deux) ===\n\n")
# Exemple: poids de boîtes de conserve
poids <- c(165.1, 171.5, 168.1, 165.6, 166.8, 170.0, 168.8, 171.1, 168.8, 173.6,
163.5, 169.9, 165.4, 174.4, 171.8, 166.0, 174.6, 174.5, 166.4, 173.8)
# Variance de référence
sigma2_0 <- 10
cat("Données observées: ", length(poids), "poids de boîtes\n")
cat("Statistiques descriptives:\n")
cat(" Moyenne: ", round(mean(poids), 2), "g\n")
cat(" Variance: ", round(var(poids), 4), "\n")
cat(" Écart-type:", round(sd(poids), 4), "g\n")
cat(" Référence σ₀²:", sigma2_0, "\n\n")
# === TEST CHI-DEUX MANUEL ===
cat("=== Hypothèses ===\n")
cat(" H₀: σ² = ", sigma2_0, "(variance égale la référence)\n")
cat(" H₁: σ² ≠ ", sigma2_0, "(variance diffère) [bilatéral]\n\n")
# Calculer la statistique
n <- length(poids)
df_lib <- n - 1 # Degrés de liberté
chi2_obs <- df_lib * var(poids) / sigma2_0
# Calculer la p-valeur bilatérale
p_val_inf <- pchisq(chi2_obs, df = df_lib) # P(χ² < χ²_obs)
p_val_sup <- 1 - p_val_inf # P(χ² > χ²_obs)
p_val_bilat <- 2 * min(p_val_inf, p_val_sup) # Bilatéral
cat("=== Résultats du Test ===\n")
cat(" Statistique χ²:", round(chi2_obs, 4), "\n")
cat(" Degrés de liberté:", df_lib, "\n")
cat(" P-valeur (bilatérale):", round(p_val_bilat, 4), "\n\n")
# Décision au niveau α = 5%
alpha <- 0.05
if (p_val_bilat < alpha) {
decision <- "REJETER H₀"
interpretation <- "La variance EST SIGNIFICATIVEMENT différente de la référence"
} else {
decision <- "NE PAS REJETER H₀"
interpretation <- "Pas de preuve que la variance diffère de la référence"
}
cat("=== Décision (α = 5%) ===\n")
cat(" Décision: ", decision, "\n")
cat(" Interprétation:", interpretation, "\n")
```
Il existe des fonctions dédiées telles que `sigma2.test()` du package **sigma2tools**. Si le package est installé, on peut appeler :
``` r
# install.packages("sigma2tools")
library(sigma2tools)
sigma2.test(poids, var0 = 10)
```
Ce test retourne directement la statistique de test, les degrés de liberté et la p‑valeur.
```{r}
#| eval: false
# Note : Ce bloc est désactivé (eval: false) car il dépend d'un fichier local "TP3/..."
# Si vous avez le fichier, changez en eval: true
# Load sigma2.test function from the local file
source("TP3/post-199979-sigma2.test.R")
# Example usage with the poids data from above
sigma2.test(poids, var0 = 10)
```
------------------------------------------------------------------------
## 4.9.5 Comparaison d'une Proportion à une Valeur de Référence
### Contexte et Hypothèses
**Question :** La proportion de succès dans la population est-elle égale à ?
**Contexte typique :** On observe X succès sur n essais de Bernoulli. Est-ce compatible avec ?
**Hypothèses :**
- **H₀** : (la proportion égale la référence)
- **H₁** : (la proportion diffère)
**Tests à utiliser :**
- **`prop.test()`** : approximation normale (grand n, et )
- **`binom.test()`** : test exact (petit n)
**Statistiques :**
- Approx. normale : sous H₀
- Exacte (Binomiale) : calcul exact des probabilités
```{r}
# ========= TEST DE PROPORTION =========
cat("\n=== Test de Proportion ===\n\n")
# Exemple: épidémiologie
# Nombre de cas observés et taille de l'échantillon
x <- 10 # Nombre de succès (cas)
n <- 147 # Taille totale
p0 <- 0.1 # Proportion théorique (10%)
cat("Contexte: Infection chez femmes ≤ 25 ans\n")
cat(" Cas observés (x):", x, "\n")
cat(" Taille (n): ", n, "\n")
cat(" Proportion observée:", round(x/n, 4), "\n")
cat(" Proportion référence (p₀):", p0, "\n\n")
# === TEST: H1 est p < p₀ (unilatéral inférieur) ===
cat("=== Hypothèses ===\n")
cat(" H₀: p = ", p0, "(la proportion égale la référence)\n")
cat(" H₁: p < ", p0, "(la proportion est INFÉRIEURE) [unilatéral]\n\n")
# Effectuer le test
test_prop <- prop.test(x, n, p = p0, alternative = "less", correct = FALSE)
cat("=== Résultats du Test ===\n")
cat(" Statistique χ²:", round(test_prop$statistic, 4), "\n")
cat(" P-valeur: ", round(test_prop$p.value, 4), "\n")
cat(" IC 95%: [", round(test_prop$conf.int[1], 4),
";", round(test_prop$conf.int[2], 4), "]\n\n")
# Décision au niveau α = 5%
alpha <- 0.05
if (test_prop$p.value < alpha) {
decision <- "REJETER H₀"
interpretation <- "La proportion EST SIGNIFICATIVEMENT inférieure à 10%"
} else {
decision <- "NE PAS REJETER H₀"
interpretation <- "Pas de preuve que la proportion soit < 10%"
}
cat("=== Décision (α = 5%) ===\n")
cat(" Décision: ", decision, "\n")
cat(" Interprétation:", interpretation, "\n")
```
Ici, `correct = FALSE` supprime la correction de continuité (cas des grands échantillons). Pour les petits échantillons, on peut utiliser `binom.test()` qui calcule une p‑valeur exacte basée sur la loi binomiale.
------------------------------------------------------------------------
## 4.9.6 Test d'un Coefficient de Corrélation
### Contexte et Hypothèses
**Question :** Existe-t-il une corrélation linéaire significative entre deux variables X et Y ?
**Hypothèses :**
- **H₀** : (pas de corrélation)
- **H₁** : (corrélation existe) \[bilatéral\]
**Test à utiliser :** **Test de corrélation de Pearson**
**Statistique :**
où est le coefficient de corrélation empirique.
**Interprétation :**
- Si grand r loin de 0 corrélation significative
- Si petit r proche de 0 pas de corrélation significative
```{r}
# ========= TEST DE CORRÉLATION =========
cat("\n=== Test de Corrélation de Pearson ===\n\n")
# Générer deux variables corrélées
set.seed(42)
n_obs <- 30
X <- rnorm(n_obs)
Y <- 0.7 * X + rnorm(n_obs, sd = 0.5) # Y dépend de X
cat("Données: ", n_obs, "paires (X, Y)\n")
cat("Corrélation simulée forte (Y = 0.7*X + bruit)\n\n")
# Calculer la corrélation empirique
r_obs <- cor(X, Y)
cat("=== Hypothèses ===\n")
cat(" H₀: ρ = 0 (pas de corrélation linéaire)\n")
cat(" H₁: ρ ≠ 0 (corrélation existe) [bilatéral]\n\n")
# Effectuer le test
test_cor <- cor.test(X, Y, alternative = "two.sided")
cat("=== Résultats du Test ===\n")
cat(" Coefficient r (Pearson):", round(r_obs, 4), "\n")
cat(" Statistique t: ", round(test_cor$statistic, 4), "\n")
cat(" Degrés de liberté: ", test_cor$parameter, "\n")
cat(" P-valeur: ", round(test_cor$p.value, 6), "\n")
cat(" IC 95%: [", round(test_cor$conf.int[1], 4),
";", round(test_cor$conf.int[2], 4), "]\n\n")
# Décision au niveau α = 5%
alpha <- 0.05
if (test_cor$p.value < alpha) {
decision <- "REJETER H₀"
interpretation <- paste("Corrélation SIGNIFICATIVE (r =", round(r_obs, 4), ")")
} else {
decision <- "NE PAS REJETER H₀"
interpretation <- "Pas de preuve de corrélation linéaire"
}
cat("=== Décision (α = 5%) ===\n")
cat(" Décision: ", decision, "\n")
cat(" Interprétation:", interpretation, "\n\n")
# Visualiser la corrélation
plot(X, Y, main = "Nuage de Points avec Corrélation",
xlab = "X", ylab = "Y", pch = 19, col = "blue")
abline(lm(Y ~ X), col = "red", lwd = 2) # Droite de régression
legend("topleft", legend = paste("r =", round(r_obs, 4)),
col = "red", lwd = 2)
```
Si on souhaite tester un coefficient différent de 0, on peut utiliser la transformation de Fisher (fonctions disponibles dans certains packages comme **LeLogicielR**). Dans de nombreux cas pratiques, la fonction `cor.test()` suffit.
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## 📌 Résumé et Points Clés
### Fonctions R Utilisées
| Test | Fonction | Syntaxe |
|------------------------|------------------------|------------------------|
| Moyenne | `t.test()` | `t.test(x, mu = μ0, alternative = "...")` |
| Variance | `var.test()` | Compare deux variances |
| Proportion | `prop.test()` | `prop.test(x, n, p = p0, alternative = "...")` |
| Corrélation | `cor.test()` | `cor.test(X, Y, alternative = "two.sided")` |
### Interprétation de la P-valeur
- **P-valeur \< 0.05** : Résultat **significatif** au niveau 5% Rejeter H₀
- **P-valeur 0.05** : Résultat **non significatif** Ne pas rejeter H₀
- **P-valeur** = Probabilité (sous H₀) d'observer un résultat aussi extrême
### Bonnes Pratiques
- ✅ **Vérifier les hypothèses** du test avant de l'appliquer
- ✅ **Choisir la direction** de l'alternative avant de voir les données (unilatéral vs. bilatéral)
- ✅ **Reporter aussi l'intervalle de confiance**, pas juste la p-valeur
- ✅ **Ne pas interpréter** « ne pas rejeter H₀ » comme « accepter H₀ »
- ✅ **Taille d'effet** : regarder aussi l'amplitude des différences, pas juste la significativité
### Pièges Courants
- ❌ Chercher le test qui donne la p-valeur la plus petite
- ❌ Ignorer les hypothèses du test (normalité, indépendance, etc.)
- ❌ Interpréter p \> 0.05 comme "H₀ est vraie"
- ❌ Multiplier les tests sans correction (risque d'erreur augmente)
- ❌ Confondre significativité statistique et significativité pratique
